医学AI中的拓扑数据分析
第一步：从数据到形状——拓扑数据分析的核心思想
拓扑数据分析是一种基于拓扑学和代数拓扑学的数学工具，用于从数据中发现“形状”特征。在医学AI中，这个“形状”指的是数据中隐藏的整体结构和模式，比如数据点形成的环、洞、高维空腔或连接分支。它不关心数据精确的数值或坐标位置，而关心数据整体连接的拓扑不变性。例如，分析一组患者的多维度生物标记物数据时，TDA关注的是这些数据点在空间中形成的整体“骨架”或“孔洞”结构，这可能对应着特定的疾病亚型或病理状态。
第二步：构建数据的“关系网”——构建单纯复形
TDA的第一步是将离散的数据点转化为能表达其“关系”的连续拓扑结构。常用方法之一是构建“单纯复形”。基本流程是：给定一组数据点（如单细胞RNA测序的每个细胞），首先计算点与点之间的距离；然后设定一个距离阈值（称为“过滤值”），将相互距离小于该阈值的点连接起来形成边（1-单纯形），将相互距离足够近的三个点连接成三角形面（2-单纯形），以此类推形成更高维的“单形”。通过逐渐增大过滤值，可以得到一个从稀疏到稠密的单纯复形序列，这个序列捕捉了数据在各个“尺度”下的拓扑特征。
第三步：洞悉“空洞”——持续同调计算
TDA的核心计算工具是“持续同调”。它跟踪在过滤值增大的过程中，拓扑特征（如同调群生成的“洞”，包括连通分支、环状结构、高维空腔）的“诞生”与“死亡”。结果被表示为“持续图”或“条形码”，其中每条横线代表一个拓扑特征的寿命（从诞生到死亡的过滤值区间）。长寿命的特征被认为是数据中稳定的、有意义的信号（如一个数据中存在的显著环状结构可能表示周期性的生物过程），而短寿命的特征则可能被视为噪声。在医学中，这可能意味着识别出肿瘤细胞演化路径中一个稳定的循环模式。
第四步：从拓扑特征到机器学习——向量化与建模
原始的持续图或条形码是结构化对象，不能直接输入传统机器学习模型。因此需要将其向量化。常用方法包括：计算每条寿命线的统计量（如均值、方差）、构造“持久图像”（将条形码转化为二维直方图）、使用“拓扑签名向量”等。这些向量化的拓扑特征可以作为新的描述符，输入到分类器（如支持向量机、随机森林）或回归模型中进行预测。这为医学预测任务提供了传统统计特征之外的一种几何结构视角。
第五步：医学AI的具体应用场景与实例
- 癌症研究：分析肿瘤微环境的单细胞空间转录组数据。TDA可以识别细胞群落的空间组织模式，如肿瘤细胞和免疫细胞之间形成的特定拓扑结构，这些结构与免疫逃逸或治疗响应相关。
- 神经科学：分析功能磁共振成像的脑网络。TDA可以提取脑功能连接网络的拓扑特征（如网络中存在多少个“环”或“洞”），用于区分健康对照、阿尔茨海默病患者和轻度认知障碍患者，这些特征可能比传统的连接强度更具鲁棒性。
- 药物发现：分析分子构象空间或化合物活性数据的形状。TDA可以揭示化学物质结构与生物活性之间潜在的拓扑关系，帮助识别新的先导化合物或预测药物副作用。
- 流行病学：追踪传染病传播的动态网络。TDA可以分析病例接触网络拓扑结构的演变，识别超级传播者事件或预测爆发模式。
第六步：优势、挑战与未来方向
优势：对数据尺度、度量和坐标选择具有相对不变性；能捕捉全局、非线性形状特征；对噪声有一定鲁棒性（短寿命特征被过滤）；提供人类可解释的洞见（如“数据中存在一个洞”）。
挑战：计算复杂度高，特别是对大规模高维数据；选择合适距离度量与过滤方法需要领域知识；结果的统计学显著性检验仍在发展中；与深度学习模型的高效融合是一个开放问题。
未来方向：开发更高效的近似算法；与深度学习结合（如拓扑特征作为正则化项，或设计可微分的拓扑层）；发展面向动态、时空医学数据的TDA方法；以及在精准医疗中用于患者分层和生物标志物发现的更深层次应用。